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作者：本質教育魏旭東

本質教育高考數(shù)學破題解析開課啦！?。?/b>

每周一、三、五更新新篇，將會從18年高考開始，致力于用三招將高考數(shù)學中具有代表性的題逐個擊破。

本質教育高中數(shù)學致力于培養(yǎng)學生的思維方式，提供思維能力，打破固有的刷題和死記硬背模式，讓學生沖刺高考數(shù)學的140+。

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數(shù)學三招：翻譯、特殊化、盯住目標

翻譯：文字、數(shù)學語言、圖形，將題目中出現(xiàn)的這三者進行合理的相互間轉化。

特殊化：根據(jù)題目或者選項的限制條件，取一些特殊值或特殊的式子，尋找特殊規(guī)律，再推及一般規(guī)律，在高難度的題中可以用特殊化進行猜想。

盯住目標：緊盯目標，聯(lián)想相關的定理、性質、公式，與題目已知聯(lián)系起來，進行解題，在難題中有時候也可以用盯住目標聯(lián)想公式進行合理猜想。

三招雖然簡單易懂，但是如果要熟練運用，難度還是很大的，所以，也就有了我們本質教育高中數(shù)學。

2018.10.19更新

（過于簡單的題目不再贅述，這里我們只選取稍微凸顯思考的題）

試卷第20題

已知斜率為k的直線l與橢圓 $C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 交于A，B兩點，線段AB的中點為M（1,m）（m>0）。
（1）證明：k< $-\frac{1}{2}$ ；
（2）設F為C的右焦點，P為C上一點，且FP+FA+FB=0，證明：|FA|，|FB|，|FP|成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差。

三招破題

（1）盯住目標：我們要證明l的斜率小于 $-\frac{1}{2}$ ，那我們通過翻譯首先要把k找出來，建立式子找到關系。

翻譯：AB兩點不是固定的，從而M也不固定，把題中條件翻譯成圖像會，你會發(fā)現(xiàn)m的取值與k有關，因為k變了，意味著直線變了，直線變了M就變了。

那么試試能不能求出m，這時候看到ABM點，是不是聯(lián)想到課本里很經典的點差法。

設 $A(x_1,y_1)$ ， $B(x_2,y_2)$ ，代入橢圓方程得到兩個式子，相減后有：

$\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{4}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{3}=0$

即 $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=k=-\frac{3}{4}\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2}$ ，又因為M(1,m)是AB中點，那么有 $x_1+x_2=2,y_1+y_2=2m$ ，從而有 $k=-\frac{3}{4m}$ ，我們剛才的目標找到了，

那么k已經與m建立關系了，怎么才能證明k小于 $-\frac{1}{2}$ 呢，那是不是需要m小于 $\frac{3}{2}$ ，怎么出現(xiàn)呢，題中已經有了m>0，而顯然M是在橢圓內的，一定是有個范圍的，我們不妨看看M在橢圓上是什么，將M坐標代入橢圓方程，得到 $m=\frac{3}{2}$ ，那正好和我們的目標聯(lián)系起來了，所以得證。

（2）盯住目標：證明|FA|，|FB|，|FP|成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差，等價于證明2|FB|=|FA|+|FP|，求出d。

翻譯：FP+FA+FB=0，因為M是AB中點，結合向量知識，有FP+2FM=0，，顯然F(1,0)我們要計算向量的模長，那么要想辦法求出P、A、B坐標代入運算，所以設P(x,y)。

FP+2FM=0，則有(x-1,y)+2(0,m-0)=0，則有x=1，y=-2m，P(1,-2m).

將P代入橢圓方程，有 $m=\frac{3}{4}$ ，所以 $l:y=-x+\frac{7}{4}$

聯(lián)立l與橢圓方程，結合韋達定理可得： $x_1+x_2=2，x_1x_2=\frac{1}{28}$

故FP= $\sqrt{(-1)^2+(-\frac{3}{2}-0)^2}=\frac{3}{2}$ ，FA+FB= $2a-\frac{c}{a}(x_1+x_2)=3$ =2FP，

故|FA|，|FB|，|FP|成等差數(shù)列，

2d=||FA|-|FB||= $|a-\frac{c}{a}x_1-a+\frac{c}{a}x_2|=\pm\frac{1}{2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\pm\frac{3\sqrt{21}}{28}$

（簡簡單單的盯住目標和翻譯就能毫不費力的拿下這很多人懼怕的12分）

歡迎關注我們的連載，學習數(shù)學三招的思維

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