數(shù)學(xué)三招，招招破高考（每周一、三、五更新新篇）18.12.12

作者：本質(zhì)教育 魏旭東

本質(zhì)教育高考數(shù)學(xué)破題解析開課啦！??！

每周一、三、五更新新篇，將會從18年高考開始，致力于用三招將高考數(shù)學(xué)中具有代表性的題逐個擊破。

本質(zhì)教育高中數(shù)學(xué)致力于培養(yǎng)學(xué)生的思維方式，提供思維能力，打破固有的刷題和死記硬背模式，讓學(xué)生沖刺高考數(shù)學(xué)的140+。

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數(shù)學(xué)三招：翻譯、特殊化、盯住目標(biāo)

翻譯：我們遇到中文的時候，往往需要把它們“翻譯”為數(shù)學(xué)的語言。大家常 常聽到的“數(shù)形結(jié)合”實(shí)際上就是“翻譯”的一種，借助于直角坐標(biāo)，幾何可以“翻譯”為代數(shù)，代數(shù)也可以“翻譯”為幾何。

特殊化：簡單來說，就是用具體的簡單數(shù)字代替變量（更進(jìn)一步，研究題目前提/該條件的必要條件）。我們一般從最特殊、最極端的例子開始。常用于將抽象難以理解的題目特殊化為具體的例子來幫助我們真正理解題目，理解每一個已知數(shù)、條件的作用。我們有時需要借助特殊化的結(jié)論，有時則可以利用其方法。

盯住目標(biāo)：即根據(jù)題目，試著聯(lián)想相關(guān)的定理、定義、方法，并運(yùn)用之，試著把已知，條件（前提）和目標(biāo)聯(lián)系起來，不斷地通過置換目標(biāo)來改造題目。任何一道題目都是在已知（前提）和未知（結(jié)論）之間構(gòu)建橋梁，問問自己，我們還有什么已知但沒有使用嗎？

三招的概念雖然簡單易懂，但是如果要熟練運(yùn)用，難度還是很大的，所以，也就有了我們本質(zhì)教育高中數(shù)學(xué)

 

2018.12.12更新

 

（過于簡單的題目不再贅述，這里我們只選取稍微凸顯思考的題）

 

2017全國Ⅰ卷

試卷第20題

已知橢圓 C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) ，四點(diǎn) P_1(1,1) ， P_2(0,1) ， P_3(-1,\frac{\sqrt{3}}{2}) , P_4(1,\frac{\sqrt{3}}{2}) 中恰有三點(diǎn)在橢圓上.

（1）求 C 的方程；

（2）設(shè)直線 l 不經(jīng)過 P_2 點(diǎn)且與 C 相交于 A、B 兩點(diǎn)，若直線 P_2A 與直線 P_2B 的斜率的和為 -1 ，證明： l 過定點(diǎn).

 

三招破題

（1）翻譯：四點(diǎn)中有三點(diǎn)在橢圓上，顯然，由于橢圓的對稱性， P_3、P_4 關(guān)于 y 軸對稱，那么只要其中某個點(diǎn)在橢圓上，另一個也必然在，而結(jié)合題目說的恰有三點(diǎn)在橢圓上，所以P_3、P_4必然均在橢圓上；

那么還剩兩個點(diǎn)，你發(fā)現(xiàn)橫坐標(biāo)為1這個東西有兩個點(diǎn)了，那么其中一個在橢圓上，另一個必然不在，故 P_1 不在橢圓上。

盯住目標(biāo)：求橢圓方程，那么關(guān)鍵是 a、b ，顯然通過三個在橢圓上的點(diǎn)中的任意兩個代入方程即可求出來，那么這里不再贅述。

答案為： C:\frac{x^2}{4}+y^2=1

 

（2）翻譯：設(shè)直線 l 不經(jīng)過 P_2 點(diǎn)且與 C 相交于 A、B 兩點(diǎn)，若直線 P_2A 與直線 P_2B 的斜率的和為 -1那么是不是把這句話用數(shù)學(xué)語言表示出來呀。

設(shè)出 l 的方程，然后與橢圓方程聯(lián)立并設(shè)出A、B 兩點(diǎn)坐標(biāo)對吧，然后用坐標(biāo)表示斜率和為 -1

①當(dāng) l 斜率不存在時，設(shè) l:x=m ， A(m,y_A) ，則 B(m,-y_A) ，則

k_{Ap_2}+k_{Bp_2}=\frac{y_A-1}{m}+\frac{-y_A-1}{m}=\frac{-2}{m}=-1 ，故 m=2 ，

所以此時 l 恒過橢圓的右頂點(diǎn) (2,0) ，但是此時就不符合題意了，此時直線與橢圓只有一個交點(diǎn)，故斜率必然存在；

 

②當(dāng) l 斜率存在時，設(shè) l:y=kx+t(t\ne 1) ， A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)

顯然，接下來我們就是聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理化簡了，都很模式化的東西了。

聯(lián)立和韋達(dá)定理的過程這里就不再贅述了，其實(shí)這個解析幾何的題還是很簡單的。

k_{Ap_2}+k_{Bp_2}=\frac{y_1-1}{x_1}+\frac{y_2-1}{x_2}=\frac{1+4k^2}{\frac{4t^2-4}{1+4k^2}}=\frac{8k(t-1)}{4(t+1)(t-1)}=-1

又因為 t\ne 1 （這個條件是因為直線 l 不經(jīng)過 P_2 點(diǎn)）

則 t=-2k-1 ，此時 \Delta =-64k ，即存在 k 使得判別式大于0成立，故符合題意。

故 l:y=kx-2k-1 ，那么我們接下來的目標(biāo)就是證明這個方程過定點(diǎn)。

顯然當(dāng) x=2 時， y=-1 ，

所以，直線恒過 (2,-1) .

 

(各位，解析幾何的12分我希望你們細(xì)心一點(diǎn)，穩(wěn)穩(wěn)拿到手)

 

 

 

 

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